Ich rechne auf Stundensatzbasis ab.
Meine Stundensätze liegen unter hundert Euro.

Die Vorauszahlung beträgt normalerweise ein paar hundert Euro.
Sie dient als Absicherung ähnlich wie die Kaution bei einem Mietverhältnis.
Die Vorauszahlung wird bei der Schlussabrechnung wieder in Abzug gebracht.
In bestimmten Abständen (z. B. monatlich) erfolgen Zwischenabrechnungen.

Wenn es eine Rechtschutzversicherung gibt:
Ob diese zahlt, hängt vom konkreten Versicherungsvertrag ab.
Manchmal gilt der Versicherungsschutz nur, wenn ausschließlich eine anwaltliche Beratung vorliegt. Also keine nachfolgende anwaltliche Tätigkeit nach außen, insbesondere gegenüber Gericht.
Wenn die Rechtschutzversicherung zahlt, dann nur (in der Regel geringere) Pauschalsätze anstatt Stundensätze.

Dass der Staat oder eine andere öffentliche Stelle die Anwaltskosten übernimmt, ist nicht wahrscheinlich.